Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 2.c) Notiamo intanto che passando da x (0) a x (1) viene aggiornata solo la variabile x 1 , equindi l’esercizio si puó risolvere in modo equivalente dimostrando che x (3) − x (1) éuna direzione coniugata ad e 1 . Esprimendo esplicitamente i punti x (1) , x (2) , x (3) comesuggerito, e limitandosi alla variabile che di volta in volta viene aggiornata, si hax (1)1 = 1a 11(x (2)2 = 1 ()b 2 − a 21 x (1)1a 22x (3)1 = 1 ()b 1 − a 12 x (2)2a 11b 1 − a 12 x (0)2),= b 2a 22− a 21b 1a 11 a 22+ a 12a 21a 11 a 22x (0)2 ,= · · · = b 1a 11− a 12b 2a 11 a 22+ a 12a 21 b 1a 2 11 a 22Le due componenti della direzione x (3) − x (1) sono quindi:x (3)1 − x (1)1 = − a 12b 2a 11 a 22+ a 12a 21 b 1a 2 11 a 22− a2 12a 21a 2 11 a x (0)2 .22− a 12(a 12 a 21 − a 11 a 22 )a 2 11 a x (0)2 ,22x (3)2 − x (1)2 = x (2)2 − x (0)2 = b 2a 22− a 21b 1a 11 a 22+ a 12a 21 − a 11 a 22a 11 a 22x (0)2 .Ora, la condizione da verificare é che(e t 1A x (3) − x (1)) = 0e quindi che( ) ( )a 11 x (3)1 − x (1)1 + a 12 x (3)2 − x (1)2 = 0e questa condizione puó essere verificata immediatamente per calcolo diretto. Opportunegeneralizzazioni di questa proprietá di coniugio appena dimostrata sono alla basedi metodi di accelerazione della convergenza per schemi di tipo gradiente o rilassamento.73