Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN420) – 14.07.11Esercizio 1.a) Descrivere il metodo di Newton per la soluzione di sistemi nonlineari e le sue principalivarianti (3 punti);b) dato il sistema nonlineare {x21 + x 2 2 = 1x 2 − e −x 1= 0scrivere un metodo di Newton approssimato per calcolare la radice situata nel quadrantepositivo, calcolandone la costante di contrazione (4 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per i metodi di discesa in ricercaesatta (6 punti);b) Descrivere la strategia di ricerca unidimensionale per bisezione (4 punti).Esercizio 3.a) Descrivere il metodo di penalizzazione ed applicarlo al problema vincolatof(x 1 , x 2 ) = x 2 1 − x 2 2S = {x ∈ R 2 : x 2 1 + x 2 2 ≤ 1}(3+2 punti);b) Enunciarne e dimostrarne il teorema di convergenza (5 punti).Esercizio 4.a) Dimostrare che il metodo di Eulero implicito soddisfa le condizioni del teorema generaledi convergenza per gli schemi ad un passo (4 punti);b) Calcolarne la regione di stabilitá assoluta nel piano complesso (3 punti).215