Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN410) – 31.05.12Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare la formula di rappresentazione dell’errore di interpolazione (6punti);b) si consideri l’intervallo I = [−1, 1] ed i nodi (di Chebyshev–Gauss–Lobatto, per n = 5)x j = cos jπ 5 .Tenendo conto che il polinomio di errore ω c 5(x) costruito su questi nodi é pari, e cheassume valori di modulo uguale in tutti gli estremi, si stimi in modo ottimale l’erroredi interpolazione (3 punti);c) considerato il polinomio di errore ω e 5(x) ottenuto invece con nodi equidistanti, calcolare(o stimare in qualche modo) sup |ω e 5| sugli intervalli [x 2 , x 3 ] e [x 4 , x 5 ] (2+3 punti).Esercizio 2.a) Descrivere la strategia di approssimazione per errore quadratico minimo (4 punti);b) data la tabella di puntix iy i−5.2 10.3−4.5 8.6−3.9 5.0−2.1 3.7−0.5 2.01.3 1.22.5 −1.5si costruisca la retta di errore quadratico minimo (5 punti).Esercizio 3.a) Descrivere i principi generali di costruzione ed uso delle formule di Newton–Cotessemplici e composite (4 punti);b) enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per le formule composite (6 punti);c) calcolare i pesi della formula di Simpson (3 punti);d) integrare mediante la formula di Simpson composita la funzione f(x) = sin x/x in[0, 2π] utilizzando una suddivisione in m = 4 sottointervalli (3 punti).222
ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN420) – 01.06.12Esercizio 1.a) Descrivere la strategia della penalizzazione per i problemi di minimizzazione vincolata(3 punti);b) enunciarne e dimostrarne il relativo teorema di convergenza (5 punti).Dato il problema di minimizzazione vincolata min S f(x), conf(x) = e x 1+x 2ed S dato dal quadrante positivo di R 2 ,c) scriverne la versione penalizzata (3 punti);d) definirne opportunamente una funzione lagrangiana per il metodo di Uzawa (3 punti).Esercizio 2.a) Enunciarne la nozione di consistenza (e suo ordine) per gli schemi ad un passo, e quelladi zero-stabilitá per il caso generale (2+2 punti);b) dimostrare che negli schemi ad un passo l’ipotesi di lipschitzianitá implica la zerostabilitá(4 punti);c) verificare l’ipotesi di lipschitzianitá per il metodo di Crank–Nicolson (2 punti).Esercizio 3.a) Descrivere la strategia generale di costruzione dei metodi di Adams (3 punti);b) costruire il metodo di Adams esplicito a due passi (3 punti).c) verificarne consistenza e zero-stabilitá (3+2 punti).223
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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SoluzioniEsercizio 1.b) Se non vien
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ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN3) -
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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SoluzioniEsercizio 1.b) La fattoriz
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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) - 0
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e quindi ben piú sfavorevole.Eserc
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SoluzioniEsercizio 1.a) La necessit
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e la condizione g ′ (¯x) = 0 va
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dove si sono indicate rispettivamen
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Nella fattorizzazione di Cholesky,
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La soluzione cercata é quindi data
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SoluzioniEsercizio 1.a) Il metodo d
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che é soddisfatta a maggior ragion
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é noto dalla teoria generale che l
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In particolare, per n = 3, 5, 7 si
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e di conseguenza della Φ. Questo c
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e la costante di contrazione richie
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Se l’argomento del valore assolut
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D’altra parte, si ha∣max |f ∣
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