Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) – 10.07.00Esercizio 1.a) Descrivere il metodo di eliminazione di Gauss nelle versioni con pivoting parziale etotale (5 punti);b) Scriverne un diagramma di flusso, sempre per le due versioni (3 punti);c) Calcolare la complessitá dell’algoritmo nei due casi (3 punti).Esercizio 2.a) Calcolare la posizione dei nodi di Chebyshev x 0 , x 1 ∈ [−1, 1] minimizzando la norma‖ω 1 ‖ ∞ del polinomio ω 1 = (x − x 0 )(x − x 1 ) (Suggerimento: x 0 = −x 1 ) (5 punti).b) Stimare l’errore di interpolazione per un polinomio interpolatore Π 1 (x) costruito sutali nodi, per la funzione f(x) = sin(x) in [−1, 1] (3 punti).c) Stimare l’errore di interpolazione per una posizione generica dei nodi in [−1, 1] (2punti).Esercizio 3. Dimostrare la convergenza delle formule di Newton–Cotes composite (5punti).Esercizio 4. Dato un generico metodo di Runge–Kutta a due stadi:a) Dimostrare la consistenza e la stabilitá assoluta del metodo di Crank–Nicolson (3+3punti);b) Scrivere esplicitamente il metodo di Crank–Nicolson (con soluzione esatta del sistemadi equazioni) per il sistema differenziale(4 punti).{ẋ = ax + byẏ = cx + dy25