Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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SoluzioniEsercizio 2.b) L’equazione, come é scritta, é giá sostanzialmente nella forma giusta per approssimareil reciproco senza ricorrere a divisioni. Infatti si ha:f(x) = 1 − axxf ′ (x) = − 1 x 2ed il metodo di Newton si scrive nella formax k+1 = x k + x k (1 − ax k ).Poiché la funzione 1/x é decrescente e convessa, una approssimazione iniziale nell’intervallo(0, 1/a) porta alla convergenza monotona dello schema.Esercizio 3.b) Le differenze divise di f(x), calcolate con tre cifre decimali, sono:f[x 0 , x 1 ] = −0.75f[x 1 , x 2 ] = −0.139f[x 2 , x 3 ] = −0.048(∗)f[x 0 , x 1 , x 2 ] = 0.306f[x 1 , x 2 , x 3 ] = 0.046(∗)f[x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ] = −0.087(∗)dove si é indicata con (∗) la perdita di una cifra significativa.78
ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) – 20.01.04Esercizio 1.a) Esporre le principali strategie di scelta delle direzioni e dei passi di ricerca nei metodidi discesa per la minimizzazione di funzioni (4 punti);b) enunciare e dimostrare il teorema di convegenza per il metodo di massima discesa inricerca esatta (6 punti).Esercizio 2. Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo dellepotenze (6 punti).Esercizio 3.a) Dare la forma generica di un metodo di Runge–Kutta esplicito a due stadi, derivandole condizioni per ottenere consistenza del secondo ordine (3 punti);b) trovare il valore dei parametri del metodo per cui (eventualmente rinunciando al secondoordine di consistenza) l’intervallo di stabilitá assoluta é piú grande (4 punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema di equivalenza di Lax–Richtmeyer (6 punti);b) Dimostrare consistenza e stabilitá della approssimazione per differenze seconde centratedella equazione del calore (3+3 punti).79
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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e quindi ben piú sfavorevole.Eserc
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