Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 13.06.05Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo iterativo di Jacobi (5punti);b) dato il sistema lineare{ x1 + 3x 2 = 5(∗)3x 1 + 5x 2 = 3costruire un sistema equivalente a (∗) in modo che sia risolvibile con il metodo diGauss–Seidel (3 punti).Esercizio 2.a) Descrivere il metodo di Newton per equazione scalari nonlineari e le sue principalivarianti (4 punti);b) enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo delle corde (6 punti).Esercizio 3.a) Descrivere la strategia di approssimazione per errore quadratico minimo (3 punti);b) costruire la retta di errore quadratico minimo per i punti della tabella seguente:x iy i−1.2 0.1−1.0 0.3−0.5 0.40.0 1.00.2 0.81.0 1.11.1 1.4(5 punti).Esercizio 4.a) Calcolare i pesi delle formule di Newton–Cotes a tre nodi, sia aperta che chiusa (3+3punti);b) dimostrare che una formula di quadratura con n + 1 nodi x 0 , . . . , x n , con grado diprecisione ν ≥ n, é necessariamente ottenuta dalla integrazione del polinomio di Lagrange(Suggerimento: applicare la formula di quadratura alle funzioni della base diLagrange relative ai nodi x 0 , . . . , x n ) (4 punti).115