Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 15.04.04Esercizio 1.a) Descrivere il metodo di fattorizzazione LU senza pivoting (5 punti);b) calcolarne la complessitá computazionale (3 punti);c) scrivere esplicitamente in forma di matrice, in funzione degli elementi della matriceA = (a ij ), la trasformazione di eliminazione della prima variabile dalle righe 2, . . . , ndi un sistema lineare Ax = b (4 punti).Esercizio 2.a) Descrivere i metodi iterativi di Jacobi e Gauss–Seidel per sistemi lineari (5 punti);b) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di Jacobi (6 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo delle corde (6 punti).Supponendo di voler approssimare con il metodo delle corde le radici della equazionesin x = 0,b) determinare un intervallo (a, b) intorno alla radice ¯x = π in cui il metodo possa essereapplicato (3 punti);c) calcolare il coefficiente di contrazione del metodo e dire quante iterazioni sono necessarieper ottenere un errore non maggiore di 10 −4 per ogni x 0 ∈ (a, b) (4 punti).83