Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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SoluzioniEsercizio 1.b) Si tratta ovviamente di riscrivere in sistema Ax = b come A t Ax = A t b, ovvero, nelcaso in questione:{ 10x1 + 7x 2 = 167x 1 + 5x 2 = 11.Come si calcola facilmente,A −1 =(−2 13 −1), (A t A) −1 =( )5 −7,−7 10ed i rispettivi numeri di condizionamento (ad esempio, nella norma ‖ · ‖ ∞ ) valgonoquindiK ∞ (A) = ‖A‖ ∞ ‖A −1 ‖ ∞ = 5 · 4 = 20,K ∞ ((A t A) −1 ) = ‖A t A‖ ∞ ‖(A t A) −1 ‖ ∞ = 17 · 17 = 289.Come si vede, la simmetrizzazione del sistema comporta un aumento notevole delnumero di condizionamento.Esercizio 2.b) Come é facile verificare, la funzione f(x) = log x − x 2 + 10 é concava su tutto il suodominio, ed inoltrelim f(x) = lim f(x) = −∞.x→0 + x→+∞Poiché, come ad esempio si vede calcolando f(1) = 9 > 0, la funzione ammette unmassimo positivo, vi sono effettivamente due radici e la funzione é crescente e concavanella prima radice, decrescente e concava nella seconda. Le approssimazioni inizialivanno quindi prese a sinistra della prima radice e a destra della seconda (entrambe,quindi, in punti in cui la funzione é negativa).Esercizio 4.a) Essendo la formula dei trapezi (che supporremo implementata a nodi equidistanti)costruita con una interpolazione di primo grado, in ogni singolo sottointervallo vale lastima|f(x) − Π 1 (x)| ≤ ‖f ′′ ‖ ∞|ω 1 (x)|.2Passando ad integrare l’errore di interpolazione, si ha, riferendosi convenzionalmenteall’intervallo [0, h]:∫ h∫ h|f(x) − Π 1 (x)|dx ≤ ‖f ′′ ‖ ∞|ω 1 (x)|dx = ‖f ′′ ‖ ∞x(h − x)dx = ‖f ′′ ‖ ∞ h 3.02 02 012Tenendo conto che questa stima va moltiplicata per un numero di sottointervalli paria m = (b − a)/h, otteniamo infine∫ bf(x)dx − I∣1,m (f, a, b)∣ ≤ (b − a)‖f ′′ ‖ ∞ h 2.12ab) Si ha, con sei decimali, I 1,5 (f, 0, 10) = 0.723433.160∫ h
ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 07.07.08Esercizio 1.a) Descrivere i principali metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari Ax = benunciandone i relativi risultati di convergenza, e dimostrare quello relativo al metododi Jacobi (3+5 punti);b) dato il sistema lineare{ 3x1 + 4x 2 + 2x 3 = 13x 1 + x 2 + x 3 = 32x 2 + 3x 3 = 2dire se é possibile applicare il metodo di Jacobi in modo che sia contrattivo, in norma‖ · ‖ ∞ o in norma ‖ · ‖ 1 (3 punti).Esercizio 2. Enunciare e dimostrare il teorema sull’ordine di convergenza per i metodiiterativi del tipo x k+1 = g(x k ) ed applicarlo al metodo di Newton (5+2 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza delle approssimazioni per interpolazionein una base generica (6 punti);b) analizzare la sensibilitá dell’operazione di interpolazione rispetto alle perturbazionisui valori di f(x i ) (3 punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema sul grado di precisione delle quadrature di Gauss–Legendre (6 punti);b) Utilizzare una quadratura di Gauss–Legendre a quattro nodi per approssimare l’integrale(3 punti).∫ 40x 2 e −x dx161
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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