Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN420) – 25.03.13Esercizio 1.a) Descrivere il metodo di Newton per la soluzione di sistemi nonlineari e le sue variantia compessitá ridotta (5 punti);b) dato il seguente sistema nonlineare:{ x21 + x 2 2 − 1 = 0x 1 − 1 2 arctan x 2 = 0scrivere un metodo delle corde, a partire da un adeguato punto iniziale x 0 , per laricerca della radice positiva, e esaminarne la convergenza (3+4 punti).Esercizio 2.a) Presentare le principali strategie di ricerca unidimensionale esatta in uso nei metodidi discesa (3 punti);b) enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per i metodi di discesa in ricercaesatta (6 punti).Esercizio 3.a) Descrivere il metodo del gradiente coniugato e le sue varianti principali (2 punti);b) enunciare e dimostrare il teorema di convergenza in n passi per i metodi di direzioniconiugate (6 punti);c) dimostrare che in un metodo di gradiente in ricerca esatta applicato alla funzionequadratica in R 2 f(x) = 1 (Ax, x) − (b, x)2le direzioni −∇f(x 0 ) e x 2 − x 0 sono coniugate (5 punti).232