Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 10.04.08Esercizio 1.a) Descrivere il metodo di eliminazione di Gauss e la fattorizzazione di Doolittle (inquesto secondo caso, senza pivotazione) (3+3 punti);b) dimostrare che il fattore triangolare inferiore L é formato dai moltiplicatori (6 punti).Esercizio 2.a) Descrivere i principali metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari e costruirnele relative matrici di iterazione (5 punti);b) supponendo di applicare il metodo iterativox k+1 = x k + β(Ax k − b)al sistema lineare { 2x1 + x 2 = 5x 1 + 2x 2 = 1determinare un intervallo di valori di β per il quale il metodo sia convergente e calcolarein funzione di β la costante di contrazione in una norma a scelta (4 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo delle corde (5 punti).Supponendo di sostituire nel metodo delle corde il rapporto incrementale con il valoref ′ (x 0 ), ottenendo quindi lo schemax k+1 = x k − f(x k)f ′ (x 0 )b) dimostrare che il metodo é localmente convergente e determinarne un intorno di convergenzasotto l’ipotesi che f ′′ sia limitata (5 punti);c) applicare questo metodo alla soluzione dell’equazione2 sin x − x = 0intorno alla prima radice strettamente positiva, scegliendo opportunamente il puntox 0 (3 punti).155