Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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Per il calcolo della costante di Lebesgue valgono le considerazioni fatte a propositodell’esercizio 3.b del 15.01.07, in particolare basta prendere in considerazione i puntiintermedi x = −1/2, x = 1/4, oltre all’estremo x = 1. Si ottiene∑∣ L iii(− 1 )∣ ∣∣∣= 1 2 3 + 1 + 1 3 = 5 3∑( )∣ 1 ∣∣∣∣ L i = 14 24 + 5 8 + 512 = 1312∑|L i (1)| = 1 3 + 2 + 8 3 = 5.iLa costante di Lebesgue relativa ai dati considerati é quindi Λ 2 = 5.154
ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 10.04.08Esercizio 1.a) Descrivere il metodo di eliminazione di Gauss e la fattorizzazione di Doolittle (inquesto secondo caso, senza pivotazione) (3+3 punti);b) dimostrare che il fattore triangolare inferiore L é formato dai moltiplicatori (6 punti).Esercizio 2.a) Descrivere i principali metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari e costruirnele relative matrici di iterazione (5 punti);b) supponendo di applicare il metodo iterativox k+1 = x k + β(Ax k − b)al sistema lineare { 2x1 + x 2 = 5x 1 + 2x 2 = 1determinare un intervallo di valori di β per il quale il metodo sia convergente e calcolarein funzione di β la costante di contrazione in una norma a scelta (4 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo delle corde (5 punti).Supponendo di sostituire nel metodo delle corde il rapporto incrementale con il valoref ′ (x 0 ), ottenendo quindi lo schemax k+1 = x k − f(x k)f ′ (x 0 )b) dimostrare che il metodo é localmente convergente e determinarne un intorno di convergenzasotto l’ipotesi che f ′′ sia limitata (5 punti);c) applicare questo metodo alla soluzione dell’equazione2 sin x − x = 0intorno alla prima radice strettamente positiva, scegliendo opportunamente il puntox 0 (3 punti).155
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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SoluzioniEsercizio 1.b) Se non vien
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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SoluzioniEsercizio 1.b) La fattoriz
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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) - 0
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e quindi ben piú sfavorevole.Eserc
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SoluzioniEsercizio 1.a) La necessit
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e la condizione g ′ (¯x) = 0 va
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SoluzioniEsercizio 2.a) Se [x k , x
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dove si sono indicate rispettivamen
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SoluzioniEsercizio 1.b) Occorre ver
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Nella fattorizzazione di Cholesky,
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La soluzione cercata é quindi data
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SoluzioniEsercizio 1.a) Il metodo d
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che é soddisfatta a maggior ragion
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é noto dalla teoria generale che l
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SoluzioniEsercizio 1.b) Come é fac
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In particolare, per n = 3, 5, 7 si
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e di conseguenza della Φ. Questo c
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