Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN410) – 16.01.12Esercizio 1.a) Descrivere il Metodo di Eliminazione di Gauss con pivotazione e calcolarne la complessitá(4+2 punti);b) dimostrare che nella fattorizzazione LU la matrice L é costituita dai moltiplicatori (6punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di bisezione (5 punti);b) data la funzione polinomialef(x) = x 3 − 5x + 3e supponendo di volerne calcolare per bisezione la radice di valore maggiore, individuareun intervallo iniziale opportuno e dire quante iterazioni sono necessarie perottenere un errore minore di 10 −6 (3 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di esistenza ed unicitá del polinomio interpolatorebasandosi sulla forma di Lagrange (5 punti);b) calcolare la costante di Lebesgue su [−1, 1] per una interpolazione costruita sui nodix 0 = −3/4, x 1 = 0 e x 2 = 3/4 (4 punti).Esercizio 4. Enunciare e dimostrare il teorema sul grado di precisione delle formuleGaussiane (6 punti);218
ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN420) – 18.01.12Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per i metodi di discesa in ricercaesatta (6 punti);b) verificare che le condizioni del teorema precedente sono soddisfatte dal metodo diNewton e dai metodi del Gradiente Coniugato e Quasi Newton (in questi due casi,implementati con reinizializzazione) (3+1+1 punti).Esercizio 2.a) Descrivere i metodi di ricerca unidimensionale parziale di Armijo–Goldstein e Wolfe–Powell (2+2 punti);b) scrivere uno dei due in forma di diagramma di flusso o pseudocodice (2 punti).Esercizio 3.a) Descrivere il metodo di Uzawa ed enunciarne il teorema di convergenza (3 punti);b) dato il problema vincolato min S f(x), conf(x) = 2x 2 1 − x 1 x 2 + x 2 2 − x 1 ,S = {x ∈ R 2 : x 1 ≤ x 2 }verificare la applicabilitá del metodo di Uzawa, ed in caso positivo effettuarne dueiterazioni complete (4 punti).Esercizio 4.a) Descrivere la strategia generale di costruzione dei metodi di Adams e verificarne lazero-stabilitá (2+4 punti);b) costruire il metodo di Adams–Moulton ad un passo e calcolarne la regione di stabilitáassoluta nel piano complesso (4 punti).219
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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SoluzioniEsercizio 1.b) Se non vien
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ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN3) -
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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SoluzioniEsercizio 1.b) La fattoriz
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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) - 0
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e quindi ben piú sfavorevole.Eserc
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SoluzioniEsercizio 1.a) La necessit
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e la condizione g ′ (¯x) = 0 va
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SoluzioniEsercizio 2.a) Se [x k , x
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dove si sono indicate rispettivamen
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SoluzioniEsercizio 1.b) Occorre ver
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Nella fattorizzazione di Cholesky,
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La soluzione cercata é quindi data
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SoluzioniEsercizio 1.a) Il metodo d
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che é soddisfatta a maggior ragion
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é noto dalla teoria generale che l
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SoluzioniEsercizio 1.b) Come é fac
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In particolare, per n = 3, 5, 7 si
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e di conseguenza della Φ. Questo c
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e la costante di contrazione richie
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Se l’argomento del valore assolut
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D’altra parte, si ha∣max |f ∣
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