Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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SoluzioniEsercizio 3.b) Scritto il vincolo di disuguaglianza comee definita la funzione Lagrangianag(x) = −x ≤ 0,L(x, λ) = x 2 + x − λx,scegliamo ad esempio il passo β = 0.1. Partendo da λ 0 = 1, si haalla iterazione successiva si ha:x 0 = argmin (x 2 + x − λ 0 x) = argmin x 2 = 0,λ 1 = P R+ [λ 0 + βg(x 0 )] = P R+ [1 + 0.1 · 0] = 1e si osserva che il metodo si é giá stabilizzato sulla soluzione x ∗ = 0, λ ∗ = 1, checorrisponde al minimo vincolato.Esercizio 4.b) Si veda l’esercizio 2.b del 09.01.03.186
ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 08.02.10Esercizio 1.a) Descrivere i principali metodi, diretti o iterativi, per la soluzione di sistemi lineari conmatrice definita positiva (3 punti);b) enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di Jacobi (5 punti);c) fornire un esempio (anche 2 × 2) di matrice simmetrica e definita positiva, ma non adiagonale dominante (2 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo delle corde (5 punti).b) Individuare un intervallo utile per applicare il metodo delle corde all’equazione√ x + 4 sin x = 0nell’intorno della prima radice positiva, e calcolare la costante di contrazione delmetodo (3 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare la formula di rappresentazione dell’errore di interpolazione (6punti);b) considerando i due nodi x 0 = −1 e x 1 = 0, maggiorare l’errore che si compie utilizzandoquesti nodi per interpolare (con grado n = 1) una funzione sull’intervallo [0, 1](3 punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema di Polya (6 punti).b) Costruire la formula di quadratura che approssimi l’integrale∫ 10f(t)dtutilizzando i valori f(−1), f(0) (2 punti).c) basandosi sulla maggiorazione ottenuta nel punto 3.b, maggiorare a sua volta l’erroredi quadratura (2 punti).187
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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SoluzioniEsercizio 1.b) Se non vien
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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SoluzioniEsercizio 1.b) La fattoriz
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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) - 0
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e quindi ben piú sfavorevole.Eserc
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SoluzioniEsercizio 1.a) La necessit
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e la condizione g ′ (¯x) = 0 va
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dove si sono indicate rispettivamen
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Nella fattorizzazione di Cholesky,
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La soluzione cercata é quindi data
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SoluzioniEsercizio 1.a) Il metodo d
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che é soddisfatta a maggior ragion
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é noto dalla teoria generale che l
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SoluzioniEsercizio 1.b) Come é fac
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In particolare, per n = 3, 5, 7 si
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e di conseguenza della Φ. Questo c
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e la costante di contrazione richie
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