Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1. Notiamo intanto che dire che i due fattori L ed U sono contemporaneamentetriangolari e tridiagonali equivale a dire che per entrambe le matrici gli elementi non nullisono sulla diagonale principale e rispettivamente sulla sotto– o sopra–diagonale. Notiamoanche che si intende che la fattorizzazione LU possa essere compiuta senza scambio dirighe, visto che in caso contrario la struttura tridiagonale della matrice verrebbe distrutta.Un modo semplice di risolvere l’esercizio é di notare che nella eliminazione di Gauss lavariabile j–esima va eliminata solo dalla equazione (j+1)–esima non comparendo nelle successive.Questo fa sí che la matrice L (che é costituita dai moltiplicatori) sia tridiagonale.D’altra parte, sostituendo ad una riga la sua combinazione lineare con righe precedenti diuna matrice (supposta induttivamente) tridiagonale, non vengono modificati gli elemential di sopra della sopradiagonale, che restano quindi nulli. Questo mostra che anche lamatrice U é tridiagonale.Esercizio 2.b) Per una funzione g nella forma indicata si ottiene:g ′ (x) = 1 + α ′ (x)f(x) + α(x)f ′ (x)e poiché in una radice ¯x multipla si ha f(¯x) = f ′ (¯x) = 0, allora g ′ (¯x) = 1 e non épossibile trovare un intorno di ¯x in cui g sia una contrazione. Si puó notare che ilmetodo di Newton non rientra in questo quadro: infatti la funzione α(x) = −1/f ′ (x)non é limitata per x → ¯x se la radice é multipla.Esercizio 3.b) Si haω 3 (x) = (x 2 − 1/9)(x 2 − 1) = x 4 − 10 9 x2 + 1 9Per calcolare gli estremi del polinomio ω 3 si annulla la derivata:ω 3(x) ′ = 4x 3 − 20 (x9 x = 4x 2 − 5 )= 0.9Questo individua i tre estremi x = 0, x = ± √ 5/3. Il massimo modulo si ottiene nelsecondo caso e valemax |ω 3(x)| = 16[−1,1] 81 .Piú dificile é la maggiorazione di |f (4) (x)| che ha una espressione piuttosto complessa.Si puó dimostrare (in modo non del tutto ovvio) che il suo massimo modulo valef (4) (0) = 4! (quest’ultimo valore si puó anche ottenere dalla serie geometrica chedefinisce f(x) in [−1, 1]). Si ottiene finalmente la maggiorazione|f(x) − Π 3 (x)| ≤ 4! 164! 81 ≈ 0.198.Esercizio 4.b) Il teorema di Polya si basa sulla possibilitá di approssimare uniformemente una funzionecontinua mediante polinomi. Questo non accade per funzioni discontinue.118