Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.b) Come é facile verificare applicando le rispettive definizioni di norme matriciali naturali,data la matrice con autovalori positivi A = diag(λ 1 , . . . , λ n ) si haed anche, come é ovvio,‖A‖ 1 = ‖A‖ 2 = ‖A‖ ∞ = λ 1‖A −1 ‖ 1 = ‖A −1 ‖ 2 = ‖A −1 ‖ ∞ = 1λ nda cui si ottiene, in ognuna di queste norme,K(A) = λ 1λ n.Diversa é la situazione utilizzando la norma di Frobenius, per la quale si ottiene:‖A‖ F =√√λ 2 1 + · · · + λ2 n, ‖A −1 ‖ F =e di conseguenza K F (A) come prodotto di queste due quantitá.Esercizio 2.b) Scritto il metodo delle secanti nella forma usuale,x k+1 = x k −1λ 2 1x k − x k−1f(x k ) − f(x k−1 ) f(x k),+ · · · + 1λ 2 ni due punti da dimostrare sono che x k+1 < x k e che x k+1 ≥ ¯x (o, che é lo stesso,che f(x k+1 ) ≥ 0). Il primo punto si dimostra in modo analogo a quanto fatto per ilmetodo di Newton una volta notato che, dal teorema di Lagrange,f(x k ) − f(x k−1 )x k − x k−1= f ′ (ξ) > 0per ξ ∈ [x k , x k−1 ]. Il secondo punto si dimostra ancora allo stesso modo ricordando(questa proprietá é conseguenza della monotonia della derivata prima) che la secante algrafico di una funzione convessa é al di sopra del grafico stesso all’interno dell’intervalloche ha per estremi le due intersezioni, al di sotto del grafico per valori esterni a questointervallo (in particolare, nel nostro caso, in x k+1 ). Di conseguenza, nello zero x k+1della secante la funzione sará nonnegativa.89