Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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SoluzioniEsercizio 2.c) Notiamo intanto che il dominio S é illimitato (una semiretta) ma il problema ammettesoluzione essendo la funzione f coercitiva. Applicando la tecnica standard dipenalizzazione sia per il vincolo di uguaglianza che per quello di disuguaglianza, siottiene1[f ε (x 1 , x 2 ) = e x2 1 +x2 2 + (x 1 − x 2 − 1) 2 + (x 1 + x 2 − 3) +2] .ε206
ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 07.02.11Esercizio 1.a) Descrivere i principali metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari, enunciandonei relativi risultati di convergenza (4 punti);b) dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di Richardson (4 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza monotona del metodo di Newton (5punti);b) discuterne la applicabilitá al calcolo delle radici dell’equazionesin x = 1 3(3 punti).Esercizio 3.a) Enunciare la formula di rappresentazione dell’errore di interpolazione ed applicarlaper calcolare il piú precisamente possibile l’errore nell’interpolazione di grado n = 2,effettuata ponendo i nodi nei punti estremi e nel punto medio dell’intervallo (4 punti);b) utilizzare la stima ottenuta al punto precedente per ottenere il numero di nodi minimonecessario ad interpolare la funzione f(x) = e − x 2 nell’intervallo [−1, 5] con un erroreminore di 10 −3 (5 punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema di Polya (6 punti);b) calcolare i pesi di una formula di Newton–Cotes chiusa a quattro nodi (4 punti).207
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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SoluzioniEsercizio 1.b) Se non vien
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ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN3) -
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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e quindi ben piú sfavorevole.Eserc
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e la condizione g ′ (¯x) = 0 va
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dove si sono indicate rispettivamen
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Nella fattorizzazione di Cholesky,
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La soluzione cercata é quindi data
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SoluzioniEsercizio 1.a) Il metodo d
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é noto dalla teoria generale che l
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SoluzioniEsercizio 1.b) Come é fac
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In particolare, per n = 3, 5, 7 si
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e di conseguenza della Φ. Questo c
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e la costante di contrazione richie
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Se l’argomento del valore assolut
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D’altra parte, si ha∣max |f ∣
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