Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 2.a) Scritta l’equazione nella forma f(x) = sin x − e −x = 0, il metodo di Newton ha laformax k+1 = x k − sin x k − e −x kcos x k + e −x .kLa radice di modulo minore é localizzata nell’intervallo [0, π/2] in cui sin x é crescentee concava, mentre e −x é decrescente e convessa. La loro differenza f(x) é quindicrescente e concava, e per ottenere convergenza monotona basta scegliere x 0 a sinistradella radice (ad esempio, x 0 = 0).b) Per un metodo a convergenza quadratica si ha|x k+1 − ¯x| ≤ 1 2 max |g′′ (x)| |x k − ¯x| 2dove il max é calcolato in un intorno della soluzione ¯x.Esercizio 3.b) Si sviluppa l’espressione dello scarto quadratico, ottenendor(ȳ) = ∑ i(y i − ȳ) 2 = ∑ iy 2 i − 2ȳ ∑ iy i + mȳ 2 ,in cui l’ultimo termine corrisponde alla sommatoria ∑ i ȳ2 . Derivando rispetto a ȳ sihar ′ (ȳ) = 2mȳ − 2 ∑ y i ,ied uguagliando questa derivata a zero si ottiene l’espressione della media aritmetica(che é l’unico punto di minimo).Esercizio 4.b) Con sei decimali si ha, rispettivamente, I 1,5 (f, 0, 10) = 0.217651 e I 2,5 (f, 0, 10) =0.486917.164