Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 2.b) Occorre preventivamente riordinare le righe del sistema lineare scambiando le primedue per ottenere:{ 3x1 − x 2 + x 3 = 5x 1 + αx 2 − 2x 3 = 1(∗)x 1 + x 2 − 3x 3 = 2.Come é noto, la contrattivitá nella norma ‖ · ‖ ∞ si ottiene dalla stretta dominanzadiagonale, che é verificata per la prima e la terza riga, e per la seconda riga richiedeche |α| > 3.c) Ponendo il sistema (∗) nella forma di equazione di punto fisso, si ottiene⎧⎨ x 1 = 1/3(5 + x 2 − x 3 )x 2 = 1/α(1 − x 1 + 2x 3 )⎩x 3 = 1/3(−2 + x 1 + x 2 ).La matrice Jacobiana del secondo membro é data da:⎛⎞0 1/3 −1/3J T = ⎝ −1/α 0 2/α ⎠1/3 1/3 0e quindi la condizione di contrattivitá ‖J T ‖ 1 < 1 richiede ancora che |α| > 3.Esercizio 3.c) Intuitivamente, il metodo di Steffensen, una volta riscritto comex k+1 = x k −f(x k )f(x k + f(x k )) − f(x k ) f(x k)equivale a sostituire nel metodo di Newton la derivata f ′ (x) con il rapporto incrementale,effettuato con l’incremento f(x k ). Se x k → ¯x, con ¯x radice di f, allora f(x k ) → 0e questo rapporto incrementale tende alla derivata f ′ (¯x). Per quanto riguarda il suoordine di convergenza, si puó applicare il teorema generale, visto al punto a), allafunzione di iterazioneSi ha, con qualche passaggio:g(x) = x −f(x)f(x + f(x)) − f(x) f(x).g ′ (x) = 1 − 2f(x)f ′ (x)(f(x + f(x)) − f(x)) − f(x) 2 (f ′ (x + f(x))(1 + f ′ (x)) − f ′ (x))(f(x + f(x)) − f(x)) 2(∗∗)42