Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.c) Ponendo ad esempio a 11 = 1 e a 12 = a 21 = 2, la matrice é nella forma( )1 2A =2 xin cui basta determinare x in modo che |A| > 0. Basta quindi che x > 4.Esercizio 2.b) Come si puó facilmente verificare, la prima radice positiva é nell’intervallo (π, 4), peril quale (lavorando con quattro cifre decimali) si haf(π) = √ (π) ≈ 1.7725 > 0, f(4) = 2 + 4 sin 4 ≈ −1.0272 < 0.In corrispondenza di questo intervallo, il metodo delle corde si scrivex k+1 = x k + 0.3066 · ( √ x k + 4 sin x k ).Per calcolare la costante di contrazione L g , si deriva g ottenendog ′ (x) = 1 + 0.3066 ·( 12 √ x + 4 cos x ).Maggiorando e minorando ora i due termini della derivata di f sull’intervallo [π, 4] siottiene[ ]1 12 √ x ∈ 4 , 12 √ = [0.25, 0.2821], 4 cos x ∈ [−4, 4 cos 4] = [−4, −2.6146],πper cui prendendo i rispettivi massimi e minimi per i due termini di f ′ , si ottiene afortiorif ′ (x) ∈ [−3.75, −2.3325],da cui, sempre sull’intervallo [π, 4],g ′ (x) ∈ [−0.1498, 0.2849]ottenendo quindi per la costante di contrazione L g ≤ 0.2849.Esercizio 3.b) Il punto é ovviamente la stima di ω 1 (x) = x(x+1), che sull’intervallo di interpolazionepuó essere maggiorato comemax[0,1] |ω 1(x)| = |ω 1 (1)| = 2,188