Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 09.06.04Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare il teorema di propagazione della perturbazione δb del terminenoto di un sistema lineare (5 punti);b) Calcolare (nelle norme piú comuni) il numero di condizionamento di una matricediagonale con autovalori λ 1 ≥ λ 2 ≥ · · · ≥ λ n > 0 (3 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza monotona per il metodo di Newtonapplicato ad equazioni scalari f(x) = 0 (6 punti).b) Adattando opportunamente la dimostrazione del punto precedente, dimostrare che sela funzione f é crescente e convessa in [¯x, x 0 ], e se ¯x < x 1 < x 0 , la successione x kgenerata dal metodo delle secanti converge in modo monotono a ¯x (5 punti).Esercizio 3.a) Descrivere la strategia di approssimazione polinomiale composita, mettendone in evidenzavantaggi e svantaggi (4 punti);b) Si supponga di interpolare in modo composito la funzione 1/x in [1, 2] utilizzandodue sottointervalli ed una approssimazione di grado 1 a tratti. Basandosi sulla piúsemplice maggiorazione dell’errore, dire come vanno scelte le ampiezze H 1 e H 2 perchél’errore sia maggiorato in modo ottimale (6 punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza delle formule di quadratura diNewton–Cotes (6 punti);b) approssimare l’integrale∫ 1√ xdx0con le quadrature del punto centrale, del trapezio e di Simpson (1+1+1 punti).88