Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) – 14.02.00Esercizio 1.Si consideri la matrice⎛A = ⎝ 5 0 1⎞1 0 2 ⎠ .1 1 1a) Dire se é necessaria una permutazione di righe (ed eventualmente quale) per costruirnela fattorizzazione LU (5 punti).b) Calcolarne (eventualmente, dopo aver effettuato una opportuna permutazione di righe)la fattorizzazione di Doolittle (4 punti).Esercizio 2.a) Dimostrare la formula di interpolazione di Newton (6 punti).b) Scrivere il polinomio interpolatore di quarto grado a nodi equidistanti nelle formerispettivamente di Newton e Lagrange per la funzione f(x) = sin x sull’intervallo[0, π]. (4+3 punti).N.B.: effettuare i calcoli con tre cifre decimali.Esercizio 3.a) Dimostrare l’ordine di precisione delle formule di quadratura di Newton–Cotes apertee chiuse (4 punti).b) Calcolare i pesi della formula di Newton–Cotes aperta a due nodi (3 punti).Esercizio 4.Sia dato il problema di Cauchy⎧⎨ y 1 ′ = 2y 1 + 2y 2y 2 ′ = −3y⎩1 + y 2y 1 (0) = 1 , y 2 (0) = 0.a) Scrivere la sua approssimazione mediante il metodo di Crank–Nicolson, esplicitandoin particolare quale sia il sistema lineare che va risolto ad ogni passo (3 punti);b) Supponendo di risolvere tale sistema con il metodo di Jacobi o di Gauss–Seidel, stimarequale é il massimo valore di h per cui il metodo converge necessariamente alla soluzionedel sistema (5 punti).18