Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN410) – 28.01.13Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza relativo al metodo di Jacobi (5punti);c) dato un sistema lineare con matriceA =(1)−2−2 5verificare se soddisfa le condizioni necessarie e/o sufficienti per la convergenza deimetodi di Jacobi, Gauss–Seidel, Richardson (2+2+3 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema sull’ordine si convergenza dei metodi iterativi perequazioni scalari, ed applicarlo al metodo di Newton (5+2 punti);b) Esporre e motivare le principali varianti del metodo di Newton (3 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza delle approssimazioni per interpolazionein una base generica (6 punti);b) supponendo di interpolare una funzione con un polinomio di terzo grado con nodix 0 , . . . , x 3 equispaziati a distanza h, calcolare la costante di Lebesgue relativa al solointervallo centrale [x 1 , x 2 ] (3 punti).Esercizio 4. Costruire la formula di quadratura di Simpson e derivarne la sua versionecomposita (4 punti).230
ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN420) – 28.01.13Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza del metodo delle corde in dimensionen (5 punti);c) dato il sistema nonlineare {x21 + x 2 2 = 1x 2 = sin x 1e scelto un adeguato punto iniziale, scrivere un metodo delle corde per trovarne lasoluzione positiva (3 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza dei metodi di discesa in ricercaesatta (6 punti);b) dimostrare che il metodo di Newton soddisfa le ipotesi del teorema generale (5 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per i metodi ad una passo (6 punti);b) dopo aver scritto un metodo generico di Runge–Kutta a due stadi, calcolarne le condizionidi consistenza del secondo ordine (5 punti).Esercizio 4. Enunciare la condizione delle radici e verificare che il metodo multistep delpunto medio la soddisfa (4 punti).231
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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SoluzioniEsercizio 1.b) Se non vien
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ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN3) -
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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SoluzioniEsercizio 1.b) La fattoriz
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SoluzioniEsercizio 1.a) La fattoriz
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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) - 0
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e quindi ben piú sfavorevole.Eserc
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SoluzioniEsercizio 1.a) La necessit
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e la condizione g ′ (¯x) = 0 va
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SoluzioniEsercizio 2.a) Se [x k , x
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dove si sono indicate rispettivamen
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SoluzioniEsercizio 1.b) Occorre ver
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Nella fattorizzazione di Cholesky,
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La soluzione cercata é quindi data
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SoluzioniEsercizio 3.c) Si ha Π 2
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SoluzioniEsercizio 1.a) Il metodo d
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che é soddisfatta a maggior ragion
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SoluzioniEsercizio 2.c) Notiamo int
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é noto dalla teoria generale che l
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SoluzioniEsercizio 1.b) Come é fac
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In particolare, per n = 3, 5, 7 si
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SoluzioniEsercizio 2.b) Ricordiamo
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e di conseguenza della Φ. Questo c
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e la costante di contrazione richie
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Se l’argomento del valore assolut
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D’altra parte, si ha∣max |f ∣
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