Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 2.c) Con sei cifre decimali, si ha I 1,2 = 0.603554, I 1,4 = 0.643283 e I 1,8 = 0.658130.d) Indicando con ɛ m l’errore sulla quadratura I 1,m , e ricordato che il valore esattodell’integrale é 2/3, si ha ɛ 2 ≈ 0.063313, ɛ 4 ≈ 0.023384 e ɛ 2 ≈ 0.008537. Supponendoche l’errore si comporti come Ch α , l’ordine di convergenza viene stimato eliminandola costante C dalla coppia di errori ɛ m e ɛ 2m ed ottenendo quindiα ≈ log 2ɛ m= 1ɛ 2m log 2 log ɛ m.ɛ 2mIl risultato é α ≈ 1.432415 per m = 2 e α ≈ 1.453721 per m = 4. Si puó notareche l’ordine di convergenza non é quadratico come la teoria affermerebbe: ció accadeperché la derivata seconda non resta limitata.Esercizio 3.b) La tabella dei nodi riferiti all’intervallo [−1, 1], fino al grado n = 3 e con sei cifredecimali, é:nt i0 0.01 ±0.5773502 0.0±0.7745973 ±0.339981±0.861136Il calcolo dei pesi w i richiede naturalmente di integrare le funzioni L i (t) della basedi Lagrange. Per avere un grado di precisione sufficiente con le formule gaussiane, bastavalutare gli integrali delle L i mediante la formula di grado 0 per i pesi della formula digrado 1 (infatti la formula del punto medio ha grado di precisione 1) e mediante la formuladi grado 1 (che é stata calcolata in precedenza, ed ha grado di precisione 3) per i pesidelle formule di grado 2 e 3. La costruzione della formula di grado 0 non ha bisogno dioperazioni di quadratura. Per la formula di grado 1 si ha:L 0 (t) =(t − 0.577350), L 1 (t) =−1.1547113(t + 0.577350),1.1547