Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 01.06.10Esercizio 1.a) Esporre la strategia di approssimazione per errore quadratico minimo e la costruzionedel sistema delle equazioni normali (4 punti);b) data la seguente tabella di temperature rilevate in funzione dell’ora:x T (x)3 10.16 10.39 14.812 16.615 16.318 14.221 12.124 11.0scrivere il sistema delle equazioni normali associato alla loro approssimazione di errorequadratico minimo nella baseφ 1 (x) = 1,φ 2 (x) = sin πx12 , φ 2(x) = cos πx12(5 punti);c) costruire la tabella delle differenze divise della funzione T fino al secondo ordine,segnalando la eventuale perdita di cifre significative per sottrazione (4 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di rappresentazione dell’errore di interpolazione perfunzioni regolari, e le principali maggiorazioni di errore che ne derivano (6+2 punti);b) maggiorare (in funzione del parametro h) l’errore di interpolazione sull’intervallo[0, 3h], utilizzando come nodi i due punti x 0 = h e x 1 = 2h (3 punti).Esercizio 3.a) Descrivere la classe di formule di quadratura di Newton–Cotes e costruire la formulaaperta a due punti (4+2 punti);b) basandosi sulla stima ottenuta al punto 2.b, maggiorare l’errore di integrazione diquest’ultima formula sull’intervallo [0, 3h] (2 punti);c) approssimare l’integrale∫ π0sin xdxutilizzando tale quadratura in forma composita, su due sottointervalli (3 punti).194