Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica
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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 04.07.05<strong>Esercizi</strong>o 1. Si consideri una matrice A tri<strong>di</strong>agonale, per la quale cioé a ij = 0 se j > i+1o se j < i−1. Si riformuli il metodo <strong>di</strong> fattorizzazione LU non pivotata per questa matrice,mostrando in particolare che anche i fattori triangolari L <strong>ed</strong> U sono tri<strong>di</strong>agonali (6 punti).<strong>Esercizi</strong>o 2.a) Enunciare e <strong>di</strong>mostrare il teorema <strong>di</strong> convergenza monotona per il metodo <strong>di</strong> Newton(6 punti);b) Dimostrare che una funzione <strong>di</strong> iterazione del tipog(x) = x + α(x)f(x)con α limitata e derivabile, non puó essere una contrazione nell’intorno <strong>di</strong> una ra<strong>di</strong>cemultipla (4 punti).<strong>Esercizi</strong>o 3.a) Enunciare e <strong>di</strong>mostrare il teorema <strong>di</strong> rappresentazione dell’errore <strong>di</strong> interpolazione (6punti);b) maggiorare il piú accuratamente possibile l’errore <strong>di</strong> una interpolazione <strong>di</strong> terzo gradodella funzionef(x) = 11 + x 2a no<strong>di</strong> equi<strong>di</strong>stanti sull’intevallo [−1, 1] (4 punti).<strong>Esercizi</strong>o 4.a) Enunciare e <strong>di</strong>mostrare il teorema <strong>di</strong> Polya sulla convergenza delle formule <strong>di</strong> quadratura(6 punti);b) <strong>di</strong>re perché il teorema <strong>di</strong> Polya non é applicabile a funzioni Riemann–integrabili manon continue (3 punti).117
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