Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN2) – 09.01.03Esercizio 1.a) Formulare le nozioni di consistenza, stabilitá e convergenza di uno schema ad un passoper Equazioni Differenziali Ordinarie della forma y ′ = f(x, y) (4 punti);b) Dimostrare la consistenza dei metodi di Eulero esplicito e di Crank–Nicolson (4 punti);c) Scrivere un metodo Predictor–Corrector basato sull’accoppiamento di questi due schemi,in cui la soluzione dello schema implicito venga effettuata con il metodo di Newton(4 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per i metodi ad un passo esplicitinella formau k+1 = u k + hΦ(x k , u k )(6 punti);b) Dimostrare la lipschitzianitá della funzione Φ nei metodi di Runge–Kutta del secondoordine e stimare la costante di Lipschitz di Φ in funzione di quella di f (3+2 punti);c) Dimostrare che la lipschitzianitá della funzione Φ implica la stabilitá dello schema (5punti).Esercizio 3. Si consideri l’equazione del trasporto u t + au x = 0, con a > 0, ed unoschema di tipo upwind basato sulla approssimazioneu x (x j ) ≈ a 0 u j + a 1 u j−1 + a 2 u j−2 .a) Si determinino i coefficienti incogniti a i in modo da ottenere uno schema del secondoordine (4 punti);b) Si dia una stima sugli autovalori della matrice A h associata alla approssimazionesemidiscreta, considerandola matrice a banda (2 punti);c) Dopo aver ulteriormente discretizzato rispetto al tempo mediante il metodo di Euleroesplicito, si calcoli il dominio di dipendenza discreto dello schema e si dia la condizioneCFL necessaria per la sua stabilitá (4 punti).52