Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 03.06.03Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare il teorema di esistenza ed unicitá del polinomio interpolatorerelativo ad n + 1 nodi distinti x 0 , . . . , x n utilizzando la forma di Newton (6 punti);b) scrivere la tabella delle differenze divise relative alla funzione f(x) = log x ed ai nodix 0 = 1, . . . , x 3 = 4 (4 punti);c) enunciare la formula di rappresentazione dell’errore e maggiorare l’errore di interpolazionetra i nodi x 1 ed x 2 , nella situazione del punto precedente (4 punti).Esercizio 2. Siano dati, tabulati con intervallo costante h nei nodi x k = kh, i valori dellemedie integrali f k di una funzione f(x) sugli intervalli [x k − h/2, x k + h/2]. Si supponga didover ricostruire f in un punto generico x per interpolazione lineare a tratti, utilizzandosempre un nodo a destra ed uno a sinistra di x. Scrivere le condizioni che deve soddisfareogni singolo tratto della ricostruzione per ottenere medie integrali corrispondenti con quelledi f (6 punti).Suggerimento: Porre la ricostruzione nella forma ∑ k u kφ k (x) con u k incognite da determinaree φ k (x j ) = δ kj , lineari a tratti.Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza delle formule di quadratura diNewton–Cotes generalizzate o composite (6 punti);b) costruire le formule di NC generalizzate basate sulle quadrature:i) chiusa di grado 1;ii) chiusa di grado 2;iii) aperta di grado 0;iv) aperta di grado 1 (1+1+1+1 punti);c) approssimare con le formule ottenute nel punto precedente l’integrale∫ π0sin xdxsuddividendo l’intervallo di integrazione in 2 sottointervalli (5 punti).60