Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.b) La matrice del sistema diviene a diagonale dominante con una opportuna permutazionedelle righe. Con la permutazione corretta, il metodo di Jacobi si scrive⎧⎪⎨⎪⎩x (k+1)1 = 3/5 + 2/5 x (k)2 − 1/5 x (k)3 )x (k+1)2 = 1/3 − 1/15x (k)1 − 2/3 x (k)3x (k+1)3 = −5/3 − 1/3 x (k)1 + 1/3 x (k)2c) La matrice di iterazione (jacobiana) del metodo é:⎛⎞0 2/5 −1/5B = J T = ⎝ −1/15 0 −2/3 ⎠−1/3 1/3 0e la costante di contrazione nella norma ‖·‖ ∞ vale L = ‖J T ‖ ∞ = max(3/5, 11/15, 2/3) =11/15.Esercizio 2.b) Riscrivendo l’equazione come f(x) = x 2 − cos x = 0, il metodo di Newton assume laformax k+1 = x k − x2 k − cos x k2x k + sin x k.Si puó notare che la f(x) é pari e, per x > 0, é crescente e convessa. Infatti, si verificain modo elementare che per x > 0:f ′ (x) = 2x + sin x > 0,f ′′ (x) = 2 + cos x > 0.Per ottenere convergenza monotona basta quindi scegliere |x 0 | > |¯x|, ad esempio pereccesso |x 0 | > π/2 (in questo caso valori positivi di x 0 porteranno ad una successioneconvergente alla radice positiva, viceversa per i valori negativi).151