Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 15.09.04Esercizio 1.Esporre il Metodo di Eliminazione di Gauss (5 punti).Esercizio 2.a) Esporre il metodo di Newton per equazioni scalari e le sue varianti principali (5 punti);b) Supponendo di sostituire nel metodo di Newton il valore f ′ (x k ) con il rapporto incrementalef(x k + h) − f(x k ),hdimostrare che|x k+1 − ¯x|limk→∞ |x k − ¯x|(con ¯x radice dell’equazione f(x) = 0) (6 punti).= O(h)Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di esistenza ed unicitá del polinomio di Lagrange(5 punti);b) Interpolando la funzione sin x con grado 2, approssimare sin 1 basandosi sui valorisin kπ 4, scegliendo i nodi che portano all’errore minimo (e motivando la scelta) (4punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema di Polya (6 punti);b) Enunciare e dimostrare il teorema di positivitá per i pesi delle formule di Gauss–Legendre (5 punti).94