Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 13.04.02Esercizio 1.a) Descrivere il Metodo di Eliminazione di Gauss (4 punti);b) Derivare dal Metodo di Eliminazione la possibilitá della fattorizzazione LU di unamatrice nonsingolare (4 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo iterativo di Jacobi (5punti);dato il sistema lineare { x1 + αx 2 − 2x 3 = 13x 1 − x 2 + x 3 = 5x 1 + x 2 − 3x 3 = 2discutere, al variare del parametro α, la contrattivitá della iterazione di Jacobi per la suasoluzioneb) nella norma ‖ · ‖ ∞ (3 punti);c) nella norma ‖ · ‖ 1 (4 punti).Esercizio 3.a) Dimostrare il teorema di convergenza quadratica per i metodi iterativi nella formax k+1 = g(x k ) (6 punti);b) Generalizzare il teorema a metodi di ordine superiore a 2 (5 punti);c) Dimostrare che il seguente metodo (detto metodo di Steffensen):x k+1 = x k −f(x k ) 2f(x k + f(x k )) − f(x k )é di secondo ordine e dare una spiegazione intuitiva del suo funzionamento (4 punti).41