Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN2) – 16.04.99Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare la formula di rappresentazione dell’errore per interpolazionipolinomiali (6 punti).b) Fornire una maggiorazione esplicita dell’errore che si commette (indipendentementedalla distribuzione dei nodi) approssimando la funzione f(x) = sin 2 x nell’intervallo[−5, 5] con un suo polinomio interpolatore di grado n = 7 (4 punti).Esercizio 2.Dato il sistema lineare{ x1 + 2x 2 + 4x 3 = 13x 1 + 2x 3 = 5x 1 + 4x 2 + 2x 3 = 2a) Trovare una permutazione di righe e/o colonne per cui esso possa essere risolto tramitel’algoritmo di Jacobi (3 punti).b) Specificata una norma opportuna su R 3 , trovare la costante di Lipschitzianitá dellacontrazione (definita al punto precedente) ed il numero di iterazioni necessario perridurre l’errore ad 1/1000 dell’errore sulla approssimazione iniziale (4 punti).Esercizio 3.a) Si dimostri che il metodo di Heun per Equazioni Differenziali Ordinarie ha ordine diconsistenza 2 (6 punti).b) Se ne trovi l’intervallo di stabilitá assoluta (3 punti).Esercizio 4. Data la seguente tabella di valori della funzione f(x) = e −x2 ,x f(x)−1.5 0.1054−1.0 0.3679−0.5 0.77880.0 1.00.5 0.77881.0 0.36791.5 0.1054a) Si approssimi l’integrale di f esteso all’intervallo [−1.5, 1.5] con le formule generalizzatedei trapezi e di Simpson (3+3 punti).b) Si costruisca la tavola delle differenze divise della funzione indicando gli elementi chepresentano perdita di cifre significative per sottrazione (4 punti).2
SoluzioniEsercizio 1.b) Se non viene specificata la posizione dei nodi, l’unica maggiorazione di errore utilizzabileé|f(x) − P n (x)| ≤ ‖f (n+1) ‖ ∞(b − a) (n+1)(n + 1)!e dal momento che f V II (x) = −128 sin(2x), si ha|f(x) − P n (x)| ≤128 · 10840320 ≈ 3.17 · 105 .Si puó notare come la mancanza di ipotesi sulla posizione dei nodi porti ad unamaggiorazione di scarsa utilitá pratica.Esercizio 2.a) La matrice del sistema é:⎛A = ⎝ 1 2 4⎞3 0 2 ⎠ .1 4 2Come é noto, l’algoritmo di Jacobi converge se la matrice A é a diagonale dominante.In questo caso la matrice puó essere resa dominante per righe (evitando la rinumerazionedelle variabili) portando al primo posto la seconda riga, al secondo posto laterza riga ed al terzo posto la seconda. La matrice che si ottiene é⎛Ã = ⎝ 3 0 2⎞1 4 2 ⎠ .1 2 4b) Con questa rinumerazione, il sistema si scrive come⎧⎨ x 1 = −2/3 x 3 + 5/3x 2 = −1/4 x 1 − 1/2 x 3 + 1/2⎩x 3 = −1/4 x 1 − 1/2 x 2 + 1/4ed il metodo di Jacobi ha la forma⎛x (k+1) = ⎝ 0 0 −2/3⎞ ⎛−1/4 0 −1/2 ⎠ x (k) + ⎝ 5/3⎞1/2 ⎠ = Bx (k) + C.−1/4 −1/2 01/4Questo operatore é una contrazione in R 3 nella norma ‖ · ‖ ∞ . La costante di contrazioneé la norma della matrice B, ovveroL = ‖B‖ ∞ = maxi3∑|b ij | = 3 4j
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