Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN420) – 04.06.11Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di penalizzazione (5punti);b) Dato il problema di minimizzazione vincolata{f(x1 , x 2 ) = 2x 3 1 + x 2 2 − x 1 x 2|x 1 | ≤ 1darne una formulazione per penalizzazione in modo che la funzione penalizzata siarispettivamente C 1 e C 2 (2+2 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per i metodi ad un passo (6 punti);b) Dimostrare che il metodo di Crank–Nicolson soddisfa le ipotesi del teorema generalecon ordine di consistenza q = 2 (4 punti);c) Supponendo di applicare il metodo di Crank–Nicolson calcolando u k+1 per sostituzionisuccessive, dire qual é il massimo valore di h (in funzione della costante di LipschitzL f ) che garantisce la convergenza delle iterazioni (3 punti).Esercizio 3.a) Descrivere la strategia generale di costruzione dei metodi di Adams e fornirne gliesempi piú semplici (4 punti);b) Enunciare la condizione delle radici e dimostrare che é sempre soddisfatta nei metodidi Adams (4 punti);c) Costruire il metodo di Adams esplicito a tre passi (4 punti).211