Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 10.07.06Esercizio 1.a) Descrivere i principali metodi iterativi per la soluzione dei sistemi lineari con i rispettivirisultati di convergenza (3 punti);b) enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di Jacobi (5 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema relativo all’ordine di convergenza dei metodi iterativinella forma x k+1 = g(x k ) per equazioni scalari del tipo f(x) = 0 ed applicarlo almetodo di Newton (6 punti);b) dimostrare che se la funzione f ha un flesso nella radice ¯x, il metodo di Newtonconverge con ordine almeno cubico (4 punti).Esercizio 3.a) Descrivere e dimostrare la costruzione dei polinomio di Newton e la formula delledifferenze divise (6 punti);b) utilizzando il ruolo che la differenza divisa di ordine massimo ha nel polinomio interpolatore,e la unicitá del polinomio stesso, dimostrare che una differenza divisa éinvariante rispetto all’ordine con cui si considerano i nodi (4 punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il Teorema di Polya (6 punti);b) Calcolare una approssimazione dell’integrale∫ 20x −1/2 dxmediante una formula di Gauss–Legendre a 5 nodi (2 punti).134