Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN410) – 12.07.11Esercizio 1.a) Descrivere i metodi di fattorizzazione di Doolittle (senza pivotazione) e Cholesky (4punti);b) Data la matrice simmetrica: ⎛⎝ 2 1 1⎞1 5 2 ⎠1 2 4costruirne le fattorizzazioni di Doolittle e di Cholesky (2+2 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema sull’ordine di convergenza dei metodi iterativi perequazioni scalari, ed applicarlo al metodo di Newton (5+2 punti);b) Supponendo di applicare il metodo di Newton all’equazionex 2 − a = 0,valutare in modo il piú preciso possibile l’intervallo dove é possibile scegliere il puntox 0 perché il metodo converga alla radice positiva (3 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per le interpolazioni in una basegenerica (6 punti);b) Calcolare la costante di Lebesgue in [−3/2, 3/2] per una interpolazione di Lagrangecostruita sui nodi x 0 = −1, x 1 = 0 e x 2 = 1 (3 punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema sul grado di precisione delle formule Gaussiane (6punti);b) approssimare l’integrale∫ 1 √1 − x2 dxcon la formula di Gauss–Legendre a tre nodi (3 punti).−1214