Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN420) – 13.04.11Esercizio 1.Dato il sistema nonlineare{ 2x1 + cos x 1 cos x 2 = 04x 2 − sin x 1 sin x 2 = 0,a) scrivere il metodo di Newton per la sua soluzione, nella forma senza inversione dimatrici (2 punti);b) scrivere un metodo di Newton approssimato, ottenuto calcolando la matrice Jacobiananel solo punto (x 1 , x 2 ) = (0, 0) (3 punti);c) scrivere un metodo di tipo Richardson, ottenuto spostandosi con passo β nella direzioneopposta al residuo, e giustificare il fatto che (per questo sistema) tale metodosia convergente per β sufficientemente piccolo (2+3 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per i metodi di discesa in ricercaesatta (6 punti).b) specificando le ipotesi opportune, dimostrare che le direzioni di ricerca unidimensionaledel metodo di Newton soddisfano le condizioni di questo teorema (5 punti);c) descrivere brevemente le strategie di minimizzazione unidimensionale esatta utilizzatenei metodi di discesa (3 punti).Esercizio 3.a) Descrivere il principio generale dei metodi di Direzioni Coniugate, dettagliando inparticolare la generazione delle direzioni per funzioni quadratiche e non (4 punti);b) enunciare e dimostrare il teorema di convergenza in n passi dei metodi CD per funzioniquadratiche (6 punti).209