Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

e la costante di contrazione richiesta vale ‖J T ‖ ∞ = 2/3.Esercizio 3.b, c) Come é evidente, valori troppo piccoli di h portano a perdita di cifre significative persottrazione nel calcolo del rapporto incrementale; in questo modo il rapporto si allontanadi nuovo dal valore teoricamente ottimale per la convergenza del metodo. Unaanalisi completa richiederebbe di calcolare (e minimizzare rispetto ad h) la funzione|g ′ (x)|, ma il calcolo é troppo complesso. Un analisi semplificata consiste nell’imporreche il rapporto incrementale perturbato,f(x + h) + δ 1 − f(x) − δ 2,hsia il piú possibile vicino ad f ′ (x). Poiché si haf(x + h) − f(x) = hf ′ (x) + h22 f ′′ (ξ),allora ∣ ∣∣∣ f(x + h) + δ 1 − f(x) − δ 2− f ′ (x)h∣ ≤≤hf ′ (x) + h 2 /2 f ′′ (x) + δ 1 − δ 2 − hf ′ (x)∣h∣ ≤≤ |h| M 22 + 2δ|h|(si puó osservare che il primo termine maggiora l’errore di troncamento, il secondol’effetto di propagazione delle perturbazioni δ 1 e δ 2 ). Per minimizzare si annulla laderivata rispetto a |h|, ottenendo infine la soluzione|h| = 2√δM 2.d) La dimostrazione é analoga a quella vista nel caso del metodo delle secanti (esercizio2 del 9.06.04), con l’unica accortezza che nella situazione ipotizzata h deve esserepositivo: in caso contrario, infatti (come si puó vedere facilmente), quando x k + h