Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 2.c) In un generico intervallo ( − π 2 + 2kπ, π 2 + 2kπ) di definizione, la tangente é una funzionecrescente, concava nel semi–intervallo sinistro e convessa in quello destro. Sesi ( somma la funzione x queste proprietá restano vere, mentre le radici si spostano in2kπ,π2 + 2kπ) se k < 0 ed in ( − π 2 + 2kπ, 2kπ) se k > 0. Il modo piú semplice discegliere un punto iniziale é quindi ”vicino a π 2+ 2kπ” (cioé a destra della radice, inmodo tale che f sia crescente e convessa in [¯x, x 0 ]) se k < 0 e viceversa se k > 0.Esercizio 3.b) La matrice Ψ é una matrice 5 × 3 data da:Di conseguenza si ha⎛⎞⎛⎞ 1 −1 01 x 1 sin(πx 1 )1 −0.5 −1⎜⎟Ψ = ⎝ . . . ⎠ = ⎜ 1 0 0 ⎟⎝⎠ .1 x 5 sin(πx 5 ) 1 0.5 11 1 0⎛Ψ t Ψ = ⎝ 5 0 0⎞ ⎛0 2.5 1 ⎠ , Ψ t y = ⎝ 2.2⎞0.85 ⎠0 1 2−0.9che rappresentano rispettivamente matrice e termine noto del sistema delle equazioninormali. Vale la pena di osservare che basi miste sinusoidali / polinomiali come quellaproposta nell’esercizio vengono utilizzate ad esempio per separare una componenteperiodica da una ad andamento piú lento in misure sperimentali (ad esempio, la temperaturaambiente).Esercizio 4.b) Supponendo di lavorare con una griglia di nodi equidistanti x 0 , . . . , x n a passo h e conn = 3k, la formula composita richiesta si scrive in generaleI 1,k = 3h 2 [f(x 1)+f(x 2 )+f(x 4 )+f(x 5 )+· · ·+f(x 3k−5 )+f(x 3k−4 )+f(x 3k−2 )+f(x 3k−1 )].Nel caso particolare si ha h = π/6 e la quadratura valeI 1,2 = π 4(sin π 6 + sin π 3 + sin 2π 3 + sin 5π 6)= π 4( √ √ )1 3 32 + 2 + 2 + 1 ≈ 2.1457482127