Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN2) – 10.01.02Esercizio 1.a) Dare la forma generale degli schemi di Runge–Kutta di secondo ordine e dimostrarele condizioni che portano all’ordine di consistenza massimo (6 punti);b) Enunciare la forma dello schema di Runge–Kutta di quarto ordine (2 punti).Esercizio 2.a) Formulare la nozione di stabilita’ assoluta di uno schema numerico per EquazioniDifferenziali Ordinarie (3 punti);Considerato lo schema a piu’ passi:u k+1 = u k−1 + h 2 (f(x k−1, u k−1 ) + 2f(x k , u k ) + f(x k+1 , u k+1 ))b) se ne discuta la stabilita’ assoluta utilizzando soluzioni elementari della forma u k = ρ k(5 punti);c) si scriva un metodo di sostituzioni successive per la soluzione dello schema implicito esi calcoli, in funzione della costante di Lipschitz L della funzione f, il massimo passo hper cui é garantita la convergenza del metodo delle sostituzioni successive (2+3 punti).Esercizio 3. Enunciare e dimostrare (per la sola parte della sufficienza) il teorema diLax–Richtmeyer per le approssimazioni semi–discrete (6 punti).Esercizio 4.a) Formulare la nozione di consistenza per uno schema alle differenze per Equazioni aDerivate Parziali (4 punti);b) Supponendo di approssimare la derivata spaziale con l’operatore alle differenzeu x (x j ) ≈ a −1 u j−1 + a 0 u j + a 1 u j+1 ,si determinino i coefficienti incogniti a −1 , a 0 e a 1 in modo che l’ordine di consistenzasia massimo, e si dica qual é questo ordine (4 punti).39