Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

Esercizio 3.b) Innanzi tutto, la condizione che rende ottimale l’approssimazione é che l’errore innorma uniforme sia minimo. Sui due intervalli si hamax |f(x) − Π 1,H(x)| ≤ C max |f ′′ (x)|H12 [1,1+H 1 ] [1,1+H 1 ]max |f(x) − Π 1,H(x)| ≤ C[1+H 1 ,2]D’altra parte, f ′′ (x) = 2/x 3 e quindimax[1+H 1 ,2] |f ′′ (x)|H 2 2 =max |f ′′ (x)| = 2,[1,1+H 1 ]max |f ′′ (x)| =[1+H 1 ,2]da cui si puó ottenere la maggiorazione2(1 + H 1 ) 3max |f ′′ (x)|(1 − H 1 ) 2 .[1+H 1 ,2]‖f − Π 1,H ‖ ≤ 2C max(H1 2 , (1 − H 1) 2 )(1 + H 1 ) 3 . (∗)Ora, rispetto ad H 1 , la funzione H 2 1 é positiva e crescente in [1, 2], mentre la funzione(1−H 1 ) 2 /(1+H 1 ) 3 é positiva e decrescente (numeratore positivo e decrescente, denominatorepositivo e crescente). Di conseguenza il valore minimo del secondo membro di(∗) si ottiene quando le due quantitá sono uguali, ovvero quandoH 2 1 = (1 − H 1) 2(1 + H 1 ) 3 .L’equazione non é risolvibile esplicitamente, ma ha una sola soluzione reale per H 1 ≈0.381.Esercizio 4.b) Si ha, rispettivamente, I 0 = √ 2/2, I 1 = 1/2, I 2 = √ 2/3 + 1/6 ≈ 0.638 contro unvalore esatto di 2/3. In questo caso non ci si aspetta che formule di ordine piú altoforniscano risultati piú accurati. La funzione, infatti, non ha derivate limitate in [0, 1].90