Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.b) Supponendo di ordinare i punti come appaiono nella tabella, si haf[x 0 , x 1 ] = 0.81, f[x 1 , x 2 ] = 0.576, f[x 2 , x 3 ] = 0.406, f[x 3 , x 4 ] = 0.27,f[x 0 , x 1 , x 2 ] = −0.234, f[x 1 , x 2 , x 3 ] = −0.113, f[x 2 , x 3 , x 4 ] = −0.054(∗),f[x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ] = 0.061(∗),f[x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] = 0.02(∗),f[x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] = 0.012(∗)(i calcoli sono stati effettuati con tre cifre decimali e segnalando con l’asterisco laperdita di una cifra significativa). La forma risultante per il polinomio di Newton é:Π 4 (x) = 0.81 (x − 1) − 0.234 (x − 1)(x − 1.5) + 0.061 (x − 1)(x − 1.5)(x − 2)++0.012 (x − 1)(x − 1.5)(x − 2)(x − 3)Esercizio 2.b) Scritta la retta nella forma y = ax + b, il sistema delle equazioni normali é dato daed ha soluzione a = −0.792, b = −0.507.c) Poiché{ 3.38 a − b = −2.169−a + 7 b = −2.757∫ 1−1(ax + b)dx = 2b,si ha, nel caso specifico della tabella, che l’integrale approssimato vale I 1 (f, −1, 1) =−1.014. Nel caso generale, si tratta di sostituire al valore specifico di b quello cherisulta dalla soluzione del sistema delle equazioni normali. Si ottiene quindi, a contifatti:∑iI 1 (f, −1, 1) = 2b = 2x2 i · ∑i y i − ∑ i x i · ∑i x iy im ∑ i x2 i − (∑ i x i) 2 .158