Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN410) – 10.06.13Esercizio 1.a) Descrivere il Metodo di Eliminazione di Gauss con pivotazione (4 punti);b) Dimostrare che nella fattorizzazione LU la matrice L é formata dai moltiplicatori (6punti).Esercizio 2. Enunciare e dimostrare il teorema di caratterizzazione dell’ordine di convergenzaper i metodi iterativi nella forma x k+1 = g(x k ) ed applicarlo al metodo di Newton(5+2 punti);Esercizio 3.a) Dimostrare la costruzione del polinomio di Newton e la formula delle differenze divise(6 punti);b) calcolare la tabella delle differenze per la funzione f(x) = e −x sui nodi (equidistanti)x 0 = 0, . . . , x 4 = 4, con quattro cifre decimali e segnalando eventuali perdite diprecisione per cancellazione (3 punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema sull’ordine di precisione delle formule di Gauss–Legendre (6 punti);b) approssimare∫ 50e −x dxcon una formula di Gauss–Legendre a tre punti (2 punti).236
ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN420) – 14.06.13Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per i metodi di discesa in ricercaesatta (6 punti);b) esporre le principali strategie di costruzione delle direzioni di ricerca, mettendone inluce i rispettivi pregi e difetti (4 punti).Esercizio 2.a) Descrivere la strategia di ricerca parziale di Armijo–Goldstein e fornirne una pseudocodifica(3 punti);b) restringendosi al caso di funzioni quadratiche, dare le condizioni sui coefficienti σ 1 e σ 2in modo che il passo ottenuto per ricerca esatta sia sempre all’interno dell’intervalloaccettabile per la ricerca parziale di A–G (4 punti).Esercizio 3.(3 punti).Descrivere gli algoritmi primali di rilassamento e gradiente con proiezioneEsercizio 4.a) Descrivere la strategia generale di costruzione dei metodi BDF ed enunciarne i principalirisultati teorici (3 punti);b) dimostrare il teorema di consistenza (6 punti);c) costruire il metodo BDF a tre passi (5 punti).237
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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SoluzioniEsercizio 1.b) Se non vien
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ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN3) -
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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SoluzioniEsercizio 1.b) La fattoriz
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SoluzioniEsercizio 1.a) La fattoriz
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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) - 0
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e quindi ben piú sfavorevole.Eserc
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SoluzioniEsercizio 1.a) La necessit
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e la condizione g ′ (¯x) = 0 va
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SoluzioniEsercizio 2.a) Se [x k , x
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dove si sono indicate rispettivamen
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SoluzioniEsercizio 1.b) Occorre ver
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Nella fattorizzazione di Cholesky,
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La soluzione cercata é quindi data
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SoluzioniEsercizio 3.c) Si ha Π 2
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SoluzioniEsercizio 1.a) Il metodo d
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che é soddisfatta a maggior ragion
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é noto dalla teoria generale che l
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SoluzioniEsercizio 1.b) Come é fac
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In particolare, per n = 3, 5, 7 si
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e di conseguenza della Φ. Questo c
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e la costante di contrazione richie
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SoluzioniEsercizio 2.c) Con sei cif
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Se l’argomento del valore assolut
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D’altra parte, si ha∣max |f ∣
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