Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 03.02.03Esercizio 1.a) Descrivere l’algoritmo di fattorizzazione di Cholesky e calcolarne la complessitá (5punti);b) con riferimento al problema di calcolare la soluzione di un sistema lineare con matricesimmetrica definita positiva, dire quali tra gli algoritmi studiati sono applicabili econfrontarne l’efficienza nel caso specifico (3 punti).Esercizio 2.a) Presentare i principali metodi iterativi per la soluzione di una equazione scalare nonlineare,comparandone in particolare la velocitá di convergenza (5 punti);b) costruire un metodo iterativo (con un’opportuna approssimazione iniziale) convergenteper approssimare la soluzione dell’equazione(3 punti).cos x − x = 0Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare la maggiorazione dell’errore di interpolazione per un polinomiointerpolatore relativo a n + 1 nodi distinti x 0 , . . . , x n (6 punti);b) descrivere la strategia di approssimazione composita e derivare dalla formula generaledel punto (a) la relativa stima di errore (3 punti);c) lavorando a nodi equidistanti e con una approssimazione di secondo grado a tratti, direquanti nodi occorre utilizzare per approssimare la funzione f(x) = sin x sull’intervallo[−π, π] con un errore minore di 10 −3 (5 punti).Esercizio 4. Enunciare e dimostrare il teorema relativo al grado di precisione delleformule di quadratura gaussiane (6 punti).55