Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 30.05.05Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare la forma di Newton del polinomio interpolatore (6 punti);b) dare una formula di tipo Horner per il suo calcolo (3 punti).Esercizio 2.a) Descrivere la strategia di interpolazione composita e dimostrare la relativa maggiorazionedi errore (4 punti);b) descrivere la strategia di quadratura composita e dimostrare la relativa maggiorazionedi errore (4 punti);c) approssimare l’integrale∫ 1√ xdxcon una quadratura dei trapezi composita su 2,4,8 sottointervalli (1+2+3 punti);d) calcolare l’ordine di convergenza in corrispondenza dei due infittimenti (3 punti).0Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema sul grado di precisione delle formule Gaussiane (6punti).b) supponendo di conoscere i soli nodi delle formule di Gauss–Legendre, calcolare i pesidelle formule fino al grado n = 3 utilizzando le stesse formule di quadratura giá trovate(5 punti).112
SoluzioniEsercizio 2.c) Con sei cifre decimali, si ha I 1,2 = 0.603554, I 1,4 = 0.643283 e I 1,8 = 0.658130.d) Indicando con ɛ m l’errore sulla quadratura I 1,m , e ricordato che il valore esattodell’integrale é 2/3, si ha ɛ 2 ≈ 0.063313, ɛ 4 ≈ 0.023384 e ɛ 2 ≈ 0.008537. Supponendoche l’errore si comporti come Ch α , l’ordine di convergenza viene stimato eliminandola costante C dalla coppia di errori ɛ m e ɛ 2m ed ottenendo quindiα ≈ log 2ɛ m= 1ɛ 2m log 2 log ɛ m.ɛ 2mIl risultato é α ≈ 1.432415 per m = 2 e α ≈ 1.453721 per m = 4. Si puó notareche l’ordine di convergenza non é quadratico come la teoria affermerebbe: ció accadeperché la derivata seconda non resta limitata.Esercizio 3.b) La tabella dei nodi riferiti all’intervallo [−1, 1], fino al grado n = 3 e con sei cifredecimali, é:nt i0 0.01 ±0.5773502 0.0±0.7745973 ±0.339981±0.861136Il calcolo dei pesi w i richiede naturalmente di integrare le funzioni L i (t) della basedi Lagrange. Per avere un grado di precisione sufficiente con le formule gaussiane, bastavalutare gli integrali delle L i mediante la formula di grado 0 per i pesi della formula digrado 1 (infatti la formula del punto medio ha grado di precisione 1) e mediante la formuladi grado 1 (che é stata calcolata in precedenza, ed ha grado di precisione 3) per i pesidelle formule di grado 2 e 3. La costruzione della formula di grado 0 non ha bisogno dioperazioni di quadratura. Per la formula di grado 1 si ha:L 0 (t) =(t − 0.577350), L 1 (t) =−1.1547113(t + 0.577350),1.1547
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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