Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1. Osserviamo intanto che |f k (x)| ≤ 1 per ogni k ed x ∈ [0, π]. Utilizzando lamaggiorazione di errore piú semplice, otteniamo:a) |E 4 | ≤ π55!≈ 2.55b) |E 2 | ≤ 1 π 33! 8 ≈ 0.65c) |E 1 | ≤ 1 π 22! 16 ≈ 0.31.Con un ragionamento un po’ piú raffinato, si sarebbe potuta calcolare ‖ω‖ ∞ in tutti etre i casi ed arrivare ad una stima piú precisa. In particolare, stimando ad esempio ‖ω 2 ‖ ∞come nell’esercizio 2 del 29.09.99, si sarebbe ottenutoe di conseguenza‖ω 2 ‖ ∞ =|E 2 | ≤ 1 3!2π34 3 3 √ 32π 34 3 3 √ 3 ≈ 0.031.Esercizio 2.a) In entrambi i casi si ha‖A‖ ∞ = max(78, 33) = 78 ,( )37‖A −1 ‖ ∞ = max2109 , 74= 742109 2109 .I due sistemi sono quindi equivalenti dal punto di vista del condizionamento e dellastabilitá di approssimazione.b) Il primo dei due sistemi ha una matrice a diagonale dominante e quindi puó essererisolto con il metodo di Jacobi, ponendolo nella forma:{x1 = 1 71 (1 − 7x 2)x 2 = − x 110 .La relativa costante di contrazione é quindi L = max(7/71, 1/10) = 1/10.Esercizio 3.c) Si ha I 2,2 = π(2 √ 2 + 1)/6 ≈ 2.0045.Esercizio 4.b) Utilizzando come di consueto il problema modello y ′ = −λy, con i valori dei parametriper cui il metodo é del secondo ordine si ha:u k+1 =(1 − λh + λ2 h 2 )u k(∗)2da cui si ottiene la condizione di stabilitá assoluta h < 2/λ (si veda l’esame del16.04.99). Si noti che tale risultato non dipende dai valori dei paramentri se lo schemaé del secondo ordine. Infatti, in questo caso il polinomio tra le parentesi a secondomembro di (*) deve necessariamente coincidere con lo sviluppo di Taylor del secondoordine di e −λh .24