Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.b) Dato che l’errore sul termine noto é dato nella norma ‖ · ‖ ∞ , calcoliamo il numero dicondizionamento in questa norma. Si ha( )1 3A =, A −1 =−10 −28( )−14 −3/25 1/2e di conseguenza‖A‖ ∞ = max(3, 38) = 38 ,( 31‖A −1 ‖ ∞ = max2 , 11 )= 31 2 2, K(A) = 589.Poiché ‖δb‖/‖b‖ = 10 −3 /10.442 = 9.577·10 −5 , si ottiene ‖δx‖/‖x‖ ≤ K(A)‖δb‖/‖b‖ =589 · 9.577 · 10 −5 = 0.0564.Esercizio 3.b) Il risultato, con 8 cifre significative, é I 5 = 0.99951346. L’errore, sia assoluto cherelativo, é quindi dell’ordine di 5 · 10 −4 . D’altra parte,∫ ∞10e −x dx = e −10 ≈ 4.534 · 10 −5 .Si puó stimare quindi che l’errore dovuto al troncamento sia dell’ordine del 9% circasull’errore totale.Esercizio 4.b) Nel caso lineare scalare, le approssimazioni fornite dai due metodi possono esserescritte rispettivamente comeu N = (1 + h) 1/hu N =(1 + h + h22Ció porta a considerare le due disequazioni) 1/h.|e − (1 + h) 1/h | < 10 −3( ) ∣ 1/h∣∣∣∣ ∣ e − 1 + h + h2< 10 −32che sono peró irrisolvibili con mezzi elementari. Per tentativi (!) si ottengono perh valori dell’ordine di 7.5 · 10 −4 (corrispondente a circa 1333 passi) per il metodo diEulero e di 4.8 · 10 −2 (corrispondente a soli 21 passi) per il metodo di Heun.28