Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 2.b) Ricordiamo che dire che ¯x é una radice doppia equivale a supporre che f ′ (¯x) = 0,f ′′ (¯x) ≠ 0. Ponendo quindig(x) = x − 2 f(x)f ′ (x)ed intendendo ovviamente la condizione g ′ (¯x) = 0 come un limite, si hag ′ (x) = 1 − 2 f ′ (x) 2 − f(x)f ′′ (x)f ′ (x) 2da cui passando al limite ed applicando due volte il teorema di De L’Hôpital si ottiene2f ′ (x)f ′′ (x) − f ′ (x)f ′′ (x) − f(x)f ′′′ (x)limx→¯x g′ (x) = 1 − 2 limx→¯x 2f ′ (x)f ′′ (x)= 1 − 2 limx→¯xf ′′ (x) 2 + f ′ (x)f ′′′ (x) − f ′ (x)f ′′′ (x) − f(x)f ′′′′ (x)2f ′′ (x) 2 + 2f ′ (x)f ′′′ (x)f ′′ (x) 2 − f(x)f ′′′′ (x)= 1 − 2 limx→¯x 2f ′′ (x) 2 + 2f ′ (x)f ′′′ (x) = 0in cui si é anche usata la condizione di radice doppia nell’ultimo passaggio.Esercizio 3.b) Le differenze divise di f(x), calcolate con quattro cifre significative, sono:f[x 0 , x 1 ] = −0.5f[x 1 , x 2 ] = −0.1667f[x 2 , x 3 ] = −0.0833(∗)f[x 3 , x 4 ] = −0.05f[x 0 , x 1 , x 2 ] = 0.1666f[x 1 , x 2 , x 3 ] = 0.0416(∗)f[x 2 , x 3 , x 4 ] = 0.0166(∗)f[x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ] = −0.0417(∗)f[x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] = −0.0083(∗∗)f[x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] = 0.0083(∗∗)48==