Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

Nella fattorizzazione di Cholesky, invece,da cuiH −1 =( )1 05 10, (H t ) −1 = (H −1 ) t ,K ∞ (H) = 15 , K ∞ (H t ) = 15.Il numero globale di condizionamento associato alla soluzione dei due sistemi linearié quindi di 3780 per la fattorizzazione LU e di 225 (ben piú basso, quindi) per lafattorizzazione di Cholesky. Per confronto, il numero di condizionamento della matriceA vale K ∞ (A) = 169.Esercizio 3.c) Anche se non é strettamente necessario per la convergenza del metodo, conviene porsiin un intervallo in cui la funzione cambi di segno. La scelta piú semplice é quelladell’intervallo [1, 2]. Calcoliamo ora la costante di contrazione del metodo. Poichéa = 1 e b = 2, il metodo si scrive x k+1 = g(x k ) cone derivando g si hag(x) = x −b − af(b) − f(a) f(x) = x − 1 3 (x2 − 2),g ′ (x) = 1 − 2x 3che essendo una funzione lineare, assume il suo massimo modulo in un estremo. QuindiL = sup |g ′ (x)| = max(|g ′ (1)|, |g ′ (2)|) = 1[1,2]3(osserviamo che questo giustifica a posteriori la scelta dell’intervallo [1, 2]). Infine,poiché la radice é interna all’intervallo [a, b], supponendo che anche x 0 lo sia, si ottiene|x k − √ 2| ≤ L k |x 0 − √ 2| ≤ L k (b − a) = L k ,e la precisione richiesta si raggiunge quando 3 k ≥ 1000, ovvero alla settima iterazione.59