Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 14.06.10Esercizio 1. Descrivere l’algoritmo di fattorizzazione di Doolittle in assenza di pivotazionee derivarne l’algoritmo di Cholesky, calcolando la complessitá per entrambi (4+3punti).Esercizio 2.a) Descrivere il metodo di bisezione per la soluzione di equazioni scalari (2 punti);b) enunciare e dimostrare il relativo teorema di convergenza (5 punti);c) individuare un intervallo opportuno per applicarlo al calcolo della radice positivadell’equazionex 4 + x 2 − x = 0e dire quante iterazioni sono necessarie per ottenere un errore dell’ordine della precisionedi macchina in rappresentazione float (1+3 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza delle approssimazioni per interpolazionein una base generica (6 punti);b) calcolare la costante di Lebesgue Λ 1 relativa ad una interpolazione di grado n = 1sull’intervallo [−1, 1] con i nodi x 0 = −1/2, x 1 = 1/2 (3 punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per le formule di Newton–Cotescomposite (5 punti);b) approssimare l’integrale∫ 100e −x dxcon una formula di Simpson composita su 5 sottointervalli, fornendo anche una stimadi andamento dell’errore per un numero qualsiasi di sottointervalli (3+1 punti).197