Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN420) – 25.03.13Esercizio 1.a) Descrivere il metodo di Newton per la soluzione di sistemi nonlineari e le sue variantia compessitá ridotta (5 punti);b) dato il seguente sistema nonlineare:{ x21 + x 2 2 − 1 = 0x 1 − 1 2 arctan x 2 = 0scrivere un metodo delle corde, a partire da un adeguato punto iniziale x 0 , per laricerca della radice positiva, e esaminarne la convergenza (3+4 punti).Esercizio 2.a) Presentare le principali strategie di ricerca unidimensionale esatta in uso nei metodidi discesa (3 punti);b) enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per i metodi di discesa in ricercaesatta (6 punti).Esercizio 3.a) Descrivere il metodo del gradiente coniugato e le sue varianti principali (2 punti);b) enunciare e dimostrare il teorema di convergenza in n passi per i metodi di direzioniconiugate (6 punti);c) dimostrare che in un metodo di gradiente in ricerca esatta applicato alla funzionequadratica in R 2 f(x) = 1 (Ax, x) − (b, x)2le direzioni −∇f(x 0 ) e x 2 − x 0 sono coniugate (5 punti).232
ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN410) – 05.04.13Esercizio 1.a) Descrivere il Metodo di Eliminazione di Gauss e le principali strategie di pivotazione(3 punti);b) dimostrare che nella fattorizzazione LU il fattore triangolare inferiore é formato daimoltiplicatori (6 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di Richardson (5punti).Dato un sistema lineare con matriceA =( )2 −1,1 3b) dire per quale intervallo di valori reali di β il metodo converge in base alla condizionenecessaria e sufficiente (4 punti);c) trovare (al variare di β) la migliore costante di contrazione nella norma ‖·‖ 1 (4 punti).Esercizio 3.a) Descrivere i principali metodi per la soluzione numerica di equazioni scalari ed enunciarnei relativi risultati di convergenza (4 punti);b) dimostrare il teorema di convergenza per il metodo delle corde (5 punti);c) data l’equazionex 3 − 4x + 1 = 0,individuare un intervallo [a, b] su cui applicare il metodo delle corde per calcolare laradice intermedia (4 punti).233
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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SoluzioniEsercizio 1.b) Se non vien
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ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN3) -
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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SoluzioniEsercizio 1.b) La fattoriz
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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) - 0
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e quindi ben piú sfavorevole.Eserc
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SoluzioniEsercizio 1.a) La necessit
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e la condizione g ′ (¯x) = 0 va
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SoluzioniEsercizio 2.a) Se [x k , x
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dove si sono indicate rispettivamen
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SoluzioniEsercizio 1.b) Occorre ver
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SoluzioniEsercizio 1.c) L’equazio
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Nella fattorizzazione di Cholesky,
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La soluzione cercata é quindi data
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SoluzioniEsercizio 3.c) Si ha Π 2
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SoluzioniEsercizio 1.a) Il metodo d
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che é soddisfatta a maggior ragion
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SoluzioniEsercizio 2.b) Si tratta d
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é noto dalla teoria generale che l
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SoluzioniEsercizio 1.b) Come é fac
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In particolare, per n = 3, 5, 7 si
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SoluzioniEsercizio 2.b) Ricordiamo
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e di conseguenza della Φ. Questo c
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e la costante di contrazione richie
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SoluzioniEsercizio 2.c) Con sei cif
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Se l’argomento del valore assolut
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D’altra parte, si ha∣max |f ∣
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