Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN410) – 15.07.13Esercizio 1.a) Dimostrare il teorema di convergenza del metodo di Richardson (4 punti);c) dato il sistema lineare{ 2x1 − x 2 = 3−x 1 + 2x 2 = 1dire qual é il valore del passo β che minimizza il raggio spettrale della matrice diiterazione (4 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo delle corde (5 punti);b) data l’equazionesin √ x = 0,determinare un intervallo iniziale opportuno per calcolare con il metodo delle corde laprima radice strettamente positiva (4 punti).Esercizio 3. Dopo aver introdotto il problema dell’interpolazione polinomiale, dimostrareesistenza ed unicitá del polinomio interpolatore basandosi sulla forma di Lagrange(2+6 punti).Esercizio 4.a) Descrivere le principali strategie di integrazione numerica (3 punti);b) dimostrare il teorema sul gradi di precisione delle formule Gaussiane (6 punti).238
ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN420) – 23.07.13Esercizio 1.a) Descrivere il metodo di Newton per la soluzione di sistemi nonlineari e darne le principalivarianti (4 punti);b) enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo delle corde n-dimensionale(5 punti);c) dato il sistema {2x21 − x 4 2 = 3x 2 1 + 20x 2 2 = 1scrivere esplicitamente il metodo di Newton, senza inversione di matrice (2 punti).Esercizio 2. Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza dei metodi di discesa inricerca esatta (6 punti);Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di penalizzazione (5punti);b) dare la versione penalizzata del problems min S f(x), con(2 punti).f(x) = x 2 1 + 3x 2 2 − x 1 x 2 ,S = {(x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : 1 ≤ x 2 1 + x 2 2 ≤ 2}Esercizio 4.a) Descrivere la strategia di approssimazione ad un passo per EDO, fornendone gli esempipiú importanti ed enunciando il teorema di convergenza (4 punti);b) scritto un generico metodo di Runge–Kutta a due stadi, derivare le condizioni suicoefficienti che garantiscono che il metodo sia del secondo ordine (6 punti).239
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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SoluzioniEsercizio 1.b) Se non vien
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ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN3) -
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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SoluzioniEsercizio 1.b) La fattoriz
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SoluzioniEsercizio 1.a) La fattoriz
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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) - 0
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e quindi ben piú sfavorevole.Eserc
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SoluzioniEsercizio 1.a) La necessit
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e la condizione g ′ (¯x) = 0 va
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SoluzioniEsercizio 2.a) Se [x k , x
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dove si sono indicate rispettivamen
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SoluzioniEsercizio 1.b) Occorre ver
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SoluzioniEsercizio 1.c) L’equazio
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Nella fattorizzazione di Cholesky,
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SoluzioniEsercizio 1.b) Le differen
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La soluzione cercata é quindi data
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SoluzioniEsercizio 3.c) Si ha Π 2
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SoluzioniEsercizio 1.a) Il metodo d
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che é soddisfatta a maggior ragion
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SoluzioniEsercizio 2.c) Notiamo int
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SoluzioniEsercizio 2.b) Si tratta d
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é noto dalla teoria generale che l
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SoluzioniEsercizio 1.b) Come é fac
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In particolare, per n = 3, 5, 7 si
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SoluzioniEsercizio 2.b) Ricordiamo
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e di conseguenza della Φ. Questo c
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e la costante di contrazione richie
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SoluzioniEsercizio 2.c) Con sei cif
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Se l’argomento del valore assolut
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D’altra parte, si ha∣max |f ∣
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